نمی‌توانید مفهوم پی را درک کنید؟ اینجا یک تصویر جالب برای کمک به شماست
تاریخ انتشار:
روز پی مبارک!
ما روز پی را در تاریخ ۱۴ مارس جشن می‌گیریم زیرا ۳-۱۴ سه رقم اول این عدد معروف را نشان می‌دهد. اما واقعاً اهمیت پی چیست؟ چرا یک روز خاص برای آن اختصاص داده شده است؟ خوب، برای شروع، پی ساده‌ترین و کامل‌ترین شکل، یعنی دایره را تعریف می‌کند. بنابراین پی در همه‌جا اطراف شما وجود دارد. پی نسبت محیط به قطر دایره است: π = C/d.
مهم نیست که یک دایره چقدر بزرگ یا کوچک باشد، این نسبت همیشه یکسان است. در نمایش اعشاری، پی برابر با ۳.۱۴۱۵۹۲۶۵۳ … است و می‌توانید آن را به هر اندازه که بخواهید ادامه دهید، زیرا این یک عدد غیرمنطقی است و هرگز، هرگز، هرگز تمام نمی‌شود.
غیرمنطقی یعنی چه؟
طولانی بودن به خودی خود یک عدد را غیرمنطقی نمی‌کند. به عنوان مثال، فرض کنید یک مستطیل دارید که اندازه آن ۴ در ۱۱ متر است. نسبت اضلاع، ۴/۱۱، برابر با ۰.۳۶۳۶۳۶۳۶ … است. این عدد نیز بی‌نهایت است، اما یک الگو را دنبال می‌کند. در اعداد غیرمنطقی، هیچ تکراری وجود ندارد.
تمایز واقعی این است که اعداد منطقی می‌توانند به عنوان نسبت دو عدد صحیح نوشته شوند. (متوجه شدید؟ نسبت-منطقی.) و نسبت‌ها همان چیزی هستند که به عنوان کسر شناخته می‌شوند. بنابراین:
- همچنین اینطور است که هر عدد اعشاری محدود، مهم نیست چقدر طولانی باشد، می‌تواند به عنوان نسبت دو عدد صحیح بیان شود. (که به خودی خود بسیار شگفت‌انگیز است.) اعداد غیرمنطقی، از سوی دیگر، نمی‌توانند به صورت کسر بیان شوند.
او، شما می‌توانید تلاش کنید. به عنوان مثال، ۲۲/۷ تقریباً یک تقریب خوب است. اما این پی نیست. (ما می‌توانستیم روز پی را در تاریخ ۲۲ ژوئیه جشن بگیریم، زیرا بیشتر دنیا از فرمت روز-ماه-سال برای تاریخ‌ها استفاده می‌کند و این برابر با ۲۲-۷ است.)
پی در پایتون
اما شاید شما تمایل ندارید به حرف من گوش دهید. بنابراین این کار را انجام می‌دهم: من از یک الگوریتم brute-force که در پایتون ساخته‌ام استفاده می‌کنم تا تمام کسرهای صحیح ممکن را تولید کنم و ببینم آیا یکی از آن‌ها برابر با پی است.
روش brute-force چیست؟ این یک روش برای حل یک مشکل است که نیاز به هوش ندارد، فقط به مقدار زیادی کار نیاز دارد. برنامه من با کسر ۱/۱ شروع می‌شود و به طور سیستماتیک آن را با اضافه کردن ۱ به صورت یا مخرج افزایش می‌دهد. دستورالعمل‌ها به این صورت است:
- کسر (u/v) را بگیرید و با پی مقایسه کنید.
- اگر u/v کمتر از پی است، یک به صورت اضافه کنید (u+1).
- اگر u/v بیشتر از پی است، یک به مخرج اضافه کنید (v+1).
- اگر u/v برابر با پی است، شما برنده‌اید. شما ثابت کردید که پی منطقی است.
بنابراین، دنباله به این صورت شروع می‌شود: ۱/۱، ۲/۱، ۳/۱، ۴/۱، ۴/۲، ۵/۲، ۶/۲، ۷/۲، ۷/۳، ۸/۳ … منظورم این است که شما می‌توانید این کار را روی کاغذ انجام دهید، اما به زودی دیوانه خواهید شد. من برنامه‌ام را برای ۱۰۰۰ بار اجرا کردم. (اگر می‌خواهید کد را ببینید، اینجا در Google Colab است.) سپس من مقدار اعشاری برای تمام ۱۰۰۰ کسر ترسیم کردم. (از آنجا که محور افقی از ۱ تا ۱۰۰۰ می‌رود، من از مقیاس لگاریتمی برای فشرده‌سازی آن استفاده می‌کنم.)
پس از ۱۰۰۰ بار اجرا، من یک کسر ۷۶۰/۲۴۲ دارم. این یک مقدار خوب برای پی است. این به دو رقم اعشاری دقیق است—عدد استاندارد ۳.۱۴، که به هر حال بسیاری از مردم از آن استفاده می‌کنند. اما این پی نیست. اوه، خوب، چطور درباره ۵۰۰۰۰۰ بار اجرا؟
این به من یک کسر نهایی می‌دهد:
این نسبت صحیح نزدیک است—تا ششمین رقم اعشاری با پی مطابقت دارد—اما هنوز پی نیست. خوب، چطور درباره ۱۰ میلیون بار اجرا؟ این یک کسر صحیح از ۷,۵۸۵,۴۷۱ بر ۲,۴۱۴,۵۳۱ می‌دهد که تنها ۰.۰۰۰۰۳ درصد اختلاف دارد. اما هنوز هم پی نیست.
تصویرسازی غیرمنطقی
چطور درباره یک دمو بصری؟ ما واقعاً می‌توانیم نشان دهیم که پی غیرمنطقی است با چرخاندن توپ‌ها در یک دایره. اینجا چطور کار می‌کند: اول با یک توپ شروع می‌کنیم که با سرعت ثابت حرکت می‌کند.
حالا بیایید یک توپ دیگر را به انتهای آن توپ اضافه کنیم. این توپ در دایره‌ای با همان شعاع حرکت می‌کند، اما با سرعتی که ۳.۵ برابر سریع‌تر است. نه تنها این یک الگوی جالب ایجاد می‌کند، بلکه در برخی از مواقع الگو تکرار خواهد شد. اگر چشمتان را به نقطه شروع در سمت راست نگه دارید، می‌توانید ببینید که چگونه توپ شروع به بازگشت به مسیر خود می‌کند:
شما می‌توانید هر نسبتی از سرعت‌ها را که به عدد اعشاری محدود منتهی می‌شود، امتحان کنید، مانند ۳.۵ بالا. به عبارت دیگر، اعداد منطقی! ۳.۵ می‌تواند به عنوان یک کسر صحیح بیان شود: ۷/۲. هر یک از آن‌ها الگوی متفاوتی به شما می‌دهد، اما برای تمام اعداد منطقی الگو در نهایت تکرار خواهد شد.
پس چه اتفاقی می‌افتد وقتی از یک عدد غیرمنطقی برای سرعت استفاده می‌کنید؟ در یکی از نمونه‌ها، من توپ دوم را با سرعتی برابر با π برابر با سرعت توپ اول حرکت می‌دهم:
می‌بینید؟ الگو هرگز تکرار نمی‌شود. این دقیقاً مانند دنباله بی‌پایان ارقام در پی است. نزدیک می‌شود، اما هنوز کمی فاصله دارد—شما می‌توانید ببینید که خطوط شروع به ضخیم شدن می‌کنند. در واقع، من اجازه دادم که این برای مدت طولانی اجرا شود و این چیزی است که به دست آوردم:
زیرا شما نمی‌توانید پی را به عنوان یک کسر از اعداد صحیح بنویسید، دو دایره هرگز همگام نخواهند شد. این یک روش جالب برای نشان دادن اینکه پی غیرمنطقی است، اما همچنین فقط تماشای آن سرگرم‌کننده است.
